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By Prof. Dr. Konrad Königsberger (auth.)

Dieses nunmehr in four. Auflage erscheinende Lehrbuch präsentiert in bereits bewährter Weise den Kanon der research einer Veränderlichen. Auf vielfachen Wunsch hin wurden für die neue Auflage zu rund 250 Übungsaufgaben auch Lösungen ausgearbeitet und in einem Anhang beigefügt. Durch die Verbindung von Lehrtext, zahlreichen Beispielen und umfangreichem Übungsmaterial eignet sich diese Darstellung vorzüglich als begleitende Literatur zu einer Vorlesung, zum Selbststudium, sowie zur Prüfungsvorbereitung für Studenten der Mathematik, Physik, Informatik und der Wirtschaftswissenschaften. Die zahlreichen historischen Anmerkungen und die eingestreuten Perlen der klassischen research geben diesem Lehrbuch seinen besonderen Reiz.

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Summability of Multi-Dimensional Fourier Series and Hardy Spaces

The heritage of martingale concept is going again to the early fifties while Doob [57] mentioned the relationship among martingales and analytic services. at the foundation of Burkholder's clinical achievements the mar­ tingale thought can completely good be utilized in advanced research and within the concept of classical Hardy areas.

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Es soil das Anwachsen der Produkte (2) Pn := 2 4 6 2n i . 3 . 5" ... t werden. Wir zeigen: Es gibt eine Zahl P mit V2 ::; P ::; 2 so, I Pn ~ pyn (200) fUr n -+ Beweis: Wir zeigen zuniichst: a) Die Folge ~ fiillt monoton. b) Die Folge ~ wiichst monoton. yn+l daft gilt: 00. 3 Monotone Folgen a) folgt aus ( Pn+1 . ~) 2 = v'n + 2 . Vn+T 4n3 + 12n2 + 12n + 4 4n 3 + 12n2 + 9n + 2 >1 . f2 = .!!!... < = 2. f2 -< ~ v'n + 1 < ~ yin - PI Mithin besitzt die Folge (fo) einen Grenzwert P mit v'2 ~ P ~ 2. D Bemerkung: Die Berechnung von P flihrt man ublicherweise zuruck auf die Berechnung des Grenzwertes der Wallisschen Produktfolge 2 .

Man zeige, daf& sie eine Intervallschachtelung bilden. Man zeige ferner die Abschiitzung 1 bn+l - an+l < - 8a (bn - an )2. Die in allen Intervallen [ani bnl liegende Zahl heif&t arithmetisch-geometrisches Mittel der Zahlen a und b und wird mit M(a, b) bezeichnet. 11 Aufgabe 24. 5 Aufgaben 7. Die Kreismessung des Archimedes. Sei fn bzw. Fn die Flache des dem Einheitskreis einbeschriebenen bzw. umbeschriebenen regelmaf6igen n-Ecks. Zum Beispiel ist f6 = ~J3 und F6 = 2J3. Man zeige hn = G(fn,Fn), F2n = H(hn,Fn).

Den verschiedenen Charakterisierungen der Vollstandigkeit von lR. entsprechen jeweils Konstruktionen von lR. ausgehend von Q. Der Analysis am best en angepaiSt ist die bereits von Cantor 1883 ausgefUhrte Konstruktion mittels Aquivalenzklassen von Fundamentalfolgen rationaler Zahlen. Ein analoges Verfahren wird auch allgemeiner zur Vervollstiindigung metrischer Riiume herangezogen.

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