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By C. Canuto, A. Tabacco

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Summability of Multi-Dimensional Fourier Series and Hardy Spaces

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Il x−α −α dominio `e dunque il dominio di y = x privato dell’origine. 17). Notiamo infine che, per ogni valore di α = 0, la funzione inversa della funzione y = xα , ove definita, `e la funzione y = x1/α . Consideriamo infine il caso α < 0. 2 Funzioni polinomiali e razionali Una funzione polinomiale `e del tipo P (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 con an = 0; n dicesi grado del polinomio. Essa `e definita su tutto R; la funzione `e pari (rispettivamente dispari) se e solo se tutti i coefficienti di indice dispari (rispettivamente pari) sono nulli (ricordare che 0 `e un numero pari).

Si noti, invece, che il problema di determinare esplicitamente o essere di difficile, l’espressione della funzione inversa nella forma x = f −1 (y) pu` se non addirittura di impossibile, soluzione. Spesso, qualora sia possibile determinare la funzione inversa nella forma x = f −1 (y), si preferisce tornare ad indicare la variabile indipendente (della f −1 ) con il simbolo x e la variabile dipendente con il simbolo y, ottenendo cos`ı l’espressione y = f −1 (x). 1). 7, passaggio da b) a c)). 5 i) La funzione f : R → R, f (x) = ax + b `e iniettiva per ogni a = 0 (infatti, f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ ax1 = ax2 ⇒ x1 = x2 ).

X∈A Se sup f (x) `e finito ed appartiene ad f (A), allora esso `e il massimo di questo x∈A insieme. Tale numero viene detto il valore massimo (o semplicemente il massimo) di f su A e indicato con max f (x). x∈A I concetti di estremo inferiore e di minimo di f su A sono definiti in modo analogo. Infine, f dicesi limitata su A se l’insieme f (A) `e limitato. Talvolta si usano le notazioni pi` u sintetiche supA f, maxA f , etc. Notiamo che il valore massimo M = maxA f di f sull’insieme A `e caratterizzato dalle seguenti condizioni: i) M `e un valore assunto dalla funzione su A, cio`e esiste xM ∈ A tale che f (xM ) = M ; ii) M `e maggiore o uguale a ogni altro valore assunto dalla funzione su A, cio`e per ogni x ∈ A, f (x) ≤ M.

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